奇变偶不变,符号看象限.怎么理解?

这是记忆三角函数诱导公式的口诀.奇变偶不变,符号看象限是三角函数诱导公式的口诀。三角函数的诱导公式是指三角函数中,利用周期性将角度比较大的三角函数,转换为角度比较小的三角函数的公式。

1.正余弦转化

首先看看,正弦、余弦在各个象限中的正负情况,如下图1所示。

图1.sinx、cosx在各个象限中的正负号示意图

在图1中,左图表示sinx,右图表示cosx。首先看看坐标轴上数字是如何来的!当x轴正半轴沿逆时针方向,旋转90度时,与y轴正半轴重合,旋转180度时,与x轴负半轴重合,旋转270度时,与y轴负半轴重合……坐标轴上的数字由此而来。

对于正弦函数sinx来说,当x位于第一、二象限时,为正;当x位于第三、四象限时为负。对于余弦函数来说,当x位于第一、四象限时,为正;当x位于第二、三象限时,为负。

先看看标准式:

“奇变偶不变”说的是参数k如果是奇数,则正弦变余弦,余弦变正弦;如果k是偶数,则保持与原式子相同的正余弦性。“符号看象限”的意思是:假设x为锐角,如果原式为负,则最后转换的式子的前面要加负号;如果为正,则最后转化的式子的前面无须加符号。

以sin(3Π+x)和cos(5/2Π-x)为例进行说明。

先看sin(3Π+x),首先把sin(3Π+x)化成标准式,如下所示:

k为偶数,根据“奇变偶不变”原则第一次转化的结果为sinx;当x为锐角时,3Π+x落在第三象限,此时原式sin(3Π+x)为负,根据“符号看象限”原则,最后的转化式的前面要加符号,因此最终的结果是-sinx。

对于cos(5/2Π-x),k=5为奇数,根据“奇变偶不变”原则第一次转化的结果为cosx;当x为锐角时,5/2Π-x落在第一象限,此时cos(5/2Π-x)为正,根据“符号看象限”原则,最后的转化式的前面无须加符号,因此最终的结果是cosx。

2.正余切转化

下图2表示正切、余切在各个象限中的正负情况,其中左图为正切函数tanx,右图为余切函数cotx。

图2.tanx、cotx在各个象限中的正负号示意图

正余切的转化同样遵循“奇变偶不变,符号看象限”的原则。大家根据原则,自己试试看,化简下面两个函数:

三角函数诱导公式

公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等

设α为任意锐角,弧度制下的角的表示:

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式二:π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

设α为任意角,弧度制下的角的表示:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系

(1)π/2+α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

(2)π/2-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

(3)3π/2+α的三角函数值之间的关系

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/α+α)=-tanα

(4)3π/2-α的三角函数值之间的关系

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα