矩阵的秩

一. 数学概念

定义2.1　在  矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1　设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作

R(A)。

  1. 零矩阵的秩为0；
  2. ；
  3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；
  4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则

    定理2.1　若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

三. 重点、难点分析

本节的重点是用初等变换求出矩阵的秩，重点掌握用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，进而求出矩阵的秩，这对于求解线性方程组是非常有用的。难点是怎样正确的理解定理的证明和再用初等变换将矩阵化为阶梯中的方法和技巧，掌握了方法和技巧，将简单快速求出矩阵的秩，否则抓不住规律，计算起来将十分繁杂。

四. 典型例题

例1 设矩阵

求矩阵A的秩，并求A的一个最高非零子式。

解：先求A的秩，为此对A作初等行变换成行阶梯形矩阵：

因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(A)=3.

再求A的一个最高阶非零子式。因R(A)=3，知A的最高阶非零子式为3阶。A的3阶子式共有  (个)，要从40个子式中找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A的行阶梯形矩阵，记  ，则矩阵  的行阶梯形矩阵为

知R(B)=3，故B中必有3阶非零子式。B的3阶子式有4个，在B的4个3阶子式中找一个非零子式比在A中找非零子式较方便。今计算B的前三行构成的子式

 ，

因此这个子式便是A的一个组高阶非零子式。