要在浏览器关闭后保持登录状态，可以使用ASP.NET Core的Cookie来实现。下面是一个示例代码，演示了如何在.NET Core web应用程序中使用Cookie来保持登录状态。

// Startup.cs

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // 添加Cookie认证服务
    services.AddAuthentication(CookieAuthenticationDefaults.AuthenticationScheme)
        .AddCookie(options =>
        {
            options.Cookie.Name = "MyAppCookie";
            options.ExpireTimeSpan = TimeSpan.FromDays(30); // 设置Cookie的过期时间
            options.SlidingExpiration = true; // 启用滑动过期时间
        });

    // 其他配置代码...
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 中间件配置代码...

    // 添加身份验证中间件
    app.UseAuthentication();

    // 其他中间件配置代码...
}

// AccountController.cs

public class AccountController : Controller
{
    private readonly SignInManager _signInManager;

    public AccountController(SignInManager signInManager)
    {
        _signInManager = signInManager;
    }

    // 登录方法
    public async Task Login(string returnUrl = null)
    {
        // 在登录之前先清除已有的身份验证Cookie
        await HttpContext.SignOutAsync(CookieAuthenticationDefaults.AuthenticationScheme);

        // 登录逻辑...
        // 使用 _signInManager.PasswordSignInAsync() 或其他认证方法进行登录

        // 登录成功后，创建一个身份验证Cookie并将其写入浏览器
        var user = new IdentityUser { UserName = "username@example.com" }; // 从登录逻辑中获取用户信息
        await HttpContext.SignInAsync(CookieAuthenticationDefaults.AuthenticationScheme, new ClaimsPrincipal(new ClaimsIdentity(new[] { new Claim(ClaimTypes.Name, user.UserName) }, CookieAuthenticationDefaults.AuthenticationScheme)));

        // 返回登录后的页面
        if (!string.IsNullOrEmpty(returnUrl) && Url.IsLocalUrl(returnUrl))
        {
            return Redirect(returnUrl);
        }
        else
        {
            return RedirectToAction(nameof(HomeController.Index), "Home");
        }
    }

    // 其他控制器方法...
}

通过上述代码，用户在登录后会创建一个身份验证Cookie，并且设置了过期时间为30天。如果用户关闭浏览器后再次访问应用程序，ASP.NET Core会检查Cookie是否有效，如果有效则保持用户的登录状态。如果Cookie过期，用户将需要重新进行登录。

请注意，上述示例中使用了ASP.NET Core Identity库进行用户认证。如果您的应用程序使用了其他身份验证库或自定义身份验证逻辑，请相应地修改代码。