平衡二叉搜索树
在上一节中我们讨论了建立一个二叉搜索树。我们知道，当树变得不平衡时get和put操作会使二叉搜索树的性能降低到O(n)。在这一节中我们将看到一种特殊的二叉搜索树，它可以自动进行调整，以确保树随时都保持平衡。这种树被称为AVL树，命名源于其发明者：G.M. Adelson-Velskii 和 E.M. Landis。
AVL树实现抽象数据类型Map就像一个普通的二叉搜索树，唯一不同的是这棵树的工作方式。为实现我们的AVL树我们需要在树中的每个节点加入一个平衡因子并跟踪其变化情况。我们通过比较每个节点的左右子树的高度完成比较。更正式地讲，我们定义一个节点的平衡因子为左子树和右子树的高度之差。
$$balanceFactor = height(leftSubTree) – height(rightSubTree)$$
利用以上对平衡因子的定义，如果平衡因子大于零，我们称子树“左重”(left-heavy)。如果平衡因子小于零，那么子树“右重”(right-heavy)。如果平衡因子为零，则树是完全平衡的。为实现AVL树，目的是得到一棵平衡的树，我们定义平衡因子如果是 -1，0 或 1，那么这棵树是平衡的。一旦树中节点的平衡因子超出了这个范围，我们需要有一个把树恢复平衡的过程。图 1 是一个不平衡的“右重”树的例子，其中每个节点都标注了平衡因子。
图 1：一棵标注了平衡因子的不平衡的右重树
AVL树性能
在我们继续进行之前让我们看看引入这个新的平衡因子的结果。我们的要求是，确保树上的平衡因子始终为 -1，0 或 1。我们可以通过对键的操作得到更好的时间复杂度。首先，我们要思考如何利用这个平衡条件去改变最坏情况下的树。有两种可能性需要考虑，左重树和右重树。如果我们考虑树的高度为 0，1，2 和 3，图 2 举出了在新规则下可能出现的最不平衡的左重树的例子。
图 2：最坏情况下的左重AVL树
让我们看看树上的节点的总数。我们看到一棵高度为 0 的树有 1 个节点，一个高度为 1 的树有 1 + 1 = 2 个节点，一个高度为 2 的树有 1 + 1 + 2 = 4 个节点，一棵高度为 3 的树有 1 + 2 + 4 = 7 个节点。概括起来，高度为h的树的节点数（Nh）为：
$$N_h = 1 + N_{h-1} + N_{h-2}$$
可能你很熟悉这个公式，因为它和斐波那契序列非常相似。我们可以利用这个公式通过树中的节点的数目推导出一个AVL树的高度。在我们的印象中，斐波那契数列与斐波那契数的关系为：
$$F_0 = 0 \\\\
F_1 = 1 \\\\
F_i = F_{i-1} + F_{i-2} text{ for all } i ge 2$$
数学中一个重要的结果是，随着斐波那契序列的数字越来越大，Fi / Fi−1 越来越接近于黄金比例 Φ：
$$Φ = frac{1 + sqrt{5}}{2}$$
如果你想看到上式的推导过程你可以查阅相关的数学资料。我们简单地将这个方程 Fi 近似为：
$$F_i =Φ^i/sqrt{5}$$
如果利用这种近似我们可以将 Nh 的方程改写为：
$$N_h = F_{h+2} – 1, h ge 1$$
通过黄金比例近似代替斐波那契数列的项我们可以得到：
$$N_h = frac{Φ^{h+2}}{sqrt{5}} – 1$$
如果我们整理这些方程的项，并且两边都以 2 为底取对数，然后求解h，则可以导出：
$$log{N_h+1} = (H+2)log{Φ} – frac{1}{2} log{5} \\\\
h = frac{log{N_h+1} – 2 log{Φ} + frac{1}{2} log{5}}{log{Φ}} \\\\
h = 1.44 log{N_h}$$
这个推导过程告诉我们，在任何时候我们的AVL树的高度等于树中节点数以 2 为底的对数的常数（1.44）倍。这对我们搜索AVL树来说是好消息因为它限制了搜索的复杂度到O(logN)。