用 Python 进行贝叶斯模型建模（4）_程序人生

用 Python 进行贝叶斯模型建模（4）

admin

2023-07-31 00:46:22

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本系列：

《第 0 节：导论》
《第 1 节：估计模型参数》
《第 2 节：模型检验》
《第 3 节：分层模型》
《第 4 节：贝叶斯回归》
待续

第4节：贝叶斯回归

之前，我们留了个问题：“我的回复时间受聊天的对象的影响吗？”我们针对每个对话的人都进行了模型参数估计。但是有时候我们想了解更多的影响因素，比如：星期几，时刻等。可以运用 GLM（通用线性模型）更好地了解这些因素的影响。

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import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport pandas as pdimport pymc3 as pmimport scipyimport scipy.stats as statsimport seaborn.apionly as snsimport statsmodels.api as smimport theano.tensor as tt from sklearn import preprocessing %matplotlib inline plt.style.use(\’bmh\’)colors = [\’#348ABD\’, \’#A60628\’, \’#7A68A6\’, \’#467821\’, \’#D55E00\’, \’#CC79A7\’, \’#56B4E9\’, \’#009E73\’, \’#F0E442\’, \’#0072B2\’] messages = pd.read_csv(\’data/hangout_chat_data.csv\’)

线性回归

当响应y是 −∞ 到 ∞ 上的连续变量时，可以考虑使用线性回归，表示为：

5DZL5V]9HJ_ZOUC0ABQJR]L

解读为：响应y通常服从均值为 μ，标准差为 σ 的正态分布，μ 描述为一组解释变量 Xβ 的线性函数，零线截距为 β0.

连接函数

在不是对 −∞ 到 ∞上连续变量进行建模的场合，你需要使用连接函数来转换响应域。对于泊松分布，一种权威的连接函数是 log 连接函数，可以表示为：

WY$DQMETX6BT_9I~1$XO$CB

这被认为是一个固定效用模型，对系数 β 的估计是基于整个对话人群，而不是基于单个的人估计独自的参数（如第三节中的合并和局部融合模型）。

固定效用泊松回归

为了用PyMC3建立泊松回归，我们需要对 μ 使用log连接函数。PyMC3中的潜在数据模型使用了theano 库，因此需要使用下面的 theano 张量方法 theano.tensor.exp()。

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X = messages[[\’is_weekend\’,\’day_of_week\’,\’message_length\’,\’num_participants\’]].values_, num_X = X.shape with pm.Model() as model: intercept = pm.Normal(\’intercept\’, mu=0, sd=100) beta_message_length = pm.Normal(\’beta_message_length\’, mu=0, sd=100) beta_is_weekend = pm.Normal(\’beta_is_weekend\’, mu=0, sd=100) beta_num_participants = pm.Normal(\’beta_num_participants\’, mu=0, sd=100) mu = tt.exp(intercept + beta_message_length*messages.message_length + beta_is_weekend*messages.is_weekend + beta_num_participants*messages.num_participants) y_est = pm.Poisson(\’y_est\’, mu=mu, observed=messages[\’time_delay_seconds\’].values) start = pm.find_MAP() step = pm.Metropolis() trace = pm.sample(200000, step, start=start, progressbar=True)

1	[————————–100%————————–] 200000 of 200000 complete in 137.5 sec

1	_ = pm.traceplot(trace)

从上面的结果中可以看到，零线截距 β0 估值在 2.4 到 2.8，那么这说明什么呢？

不幸的是，解释泊松回归的参数比简单线性回归（y= X）更费劲，在这个线性回归中，我们可以说 x 每增加一个单位，y 增加个单位。但是，泊松回归中我们需要考虑连接函数。following cross validated post详细推导了下面的公式。

对泊松模型，x 变化一个单位，相应地 y 变化 y( e^β – 1)

从中得出的主要结论是，x 变化的影响取决于当前的 y 值，不像简单线性回归，x 同样的变化却引起 y 的不一致变化。

边缘密度图和二元联合密度图

下图显示了边缘密度图（对角线上）和二元联合密度图（上下窗格）。这个图对于理解协变量的相互作用很有用，在上例中，可以看到，若参与的人数增加，则零线截距下降。

1	_ = sns.pairplot(pm.trace_to_dataframe(trace[20000:]), plot_kws={\’alpha\’:.5})

混合效用泊松回归

对上面的模型进行小的扩展，引入一个随机截距参数，这样可以针对每个人估计一个基线参数 β0，而其他参数则针对整个群体进行估计。对于每个人i的每条消息j，可以表示为：

$S{XV~YK4E`1X@EM~13AC_GJ$

通过对每个人i引入这个随机效用参数 β0，可以使模型针对每个人建立不同的基线，同时对整个群体估计协变量的效用。

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# Convert categorical variables to integerle = preprocessing.LabelEncoder()participants_idx = le.fit_transform(messages[\’prev_sender\’])participants = le.classes_n_participants = len(participants) with pm.Model() as model: intercept = pm.Normal(\’intercept\’, mu=0, sd=100, shape=n_participants) slope_message_length = pm.Normal(\’slope_message_length\’, mu=0, sd=100) slope_is_weekend = pm.Normal(\’slope_is_weekend\’, mu=0, sd=100) slope_num_participants = pm.Normal(\’slope_num_participants\’, mu=0, sd=100) mu = tt.exp(intercept[participants_idx] + slope_message_length*messages.message_length + slope_is_weekend*messages.is_weekend + slope_num_participants*messages.num_participants) y_est = pm.Poisson(\’y_est\’, mu=mu, observed=messages[\’time_delay_seconds\’].values) start = pm.find_MAP() step = pm.Metropolis() trace = pm.sample(200000, step, start=start, progressbar=True)

1	[————————–100%————————–] 200000 of 200000 complete in 207.3 sec

1	_ = pm.traceplot(trace[20000:])

上面结果的截距很有趣：

每个人有不同的基本回复速率（正如第3节中两个模型展示的那样）
长消息需要较长时间编写，通常需要较长回复时间
如果你周末给我发消息，你很可能得到较慢的回复
我倾向于在群组聊天中回复更快

经过对每个协变量的效用进行计算，模型估计出参数 β0 的值如下。

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