先来看LeetCode上的Divide Two Integers题目要求：
Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.
就是说不用乘法，除法，求模运算来实现两个整数相除，看起来很简单，我可以用除数减去被除数，直到除数小于被除数，记录减法操作的次数即可。假设是计算m/n，那么时间复杂度为O(m/n)。用Python实现后，Time Limit Exceeded。我们考虑有没有更加优化的算法呢？
如果很难想得到，那就先来回忆下二进制数按位运算的一些知识。
二进制数按位运算
计算机里面所有数据都存储为0，1串，所有的运算归根到底都转为二进制数的运算。相信大家都知道二进制数按位运算的规则：
来看一些简单的例子：
| 123456 | 1010 & 1100 = 10001010 | 1100 = 11101010 ^ 1100 = 01101010 << 2 = 1010001010 >> 2 = 10~1010 = 0101 |
单纯的二进制位之间的这些运算相当简单，但对我们实际编程并没有直接帮助，因为编程过程中需要的经常是数字间的运算，比如 5*(2^4) 。真的是这样吗？接着往下看！
计算机中数字的存储方式
我们都知道计算机中万物皆为0、1，将万物变为0、1的过程叫做编码，这里我们只讨论将数字编码为0、1的过程。
计算机中对数字的表示有三种方式：原码，反码，补码：
- 原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1。比如十进制3如果用8个二进制位来表示就是 00000011， -3就是 10000011。
- 反码表示方法：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
- 补码表示方法：正数的补码是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。 (即在反码的基础上+1)
原码容易被人脑直接识别并用于计算，但是对于计算机来说并不友好。所以在计算机系统中，数值一律用补码来表示、运算和存储。使用补码，可以将符号位和数值域统一处理，将加法和减法统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。详细的解释可以参考原码, 反码, 补码详解。
数字的按位运算
计算机中数字存储为补码形式，各个数之间的运算也是对它们的补码做运算，而且得到的结果也是补码，如下图：
各种编程语言都提供了对补码的二进制位直接进行运算的方法。以Python为例：
| 1234567891011121314 | >>> 0b1010 & 0b11008 #1000>>> 0b1010 | 0b110014 #1110>>> 0b1010 ^ 0b11006 #0110>>> 0b1010 << 240 #101000>>> 0b1010 >> 22 #10>>> ~0b1010–11 #10000000 00000000 00000000 00001011>>> type(0b1010) |
上面0b开头的0、1串表示整型数字，在32位操作系统中，Python中int类型一般占32个二进制位，以最后一个求反运算为例子，1010的补码为
00000000 00000000 00000000 00001010
求反操作后为：
11111111 11111111 11111111 11110101
即为-11(原码为：10000000 00000000 00000000 00001011)的补码。（对一个数的补码求补码即可得到该数的原码）
另辟蹊径的按位运算
那么按位运算在实际编程中可以扮演哪些角色呢？简单点地，可以用来判断奇、偶数：num & 0x1，或者对一个数变换符号：~num + 1；复杂点的可以用来交换两个数，求绝对值等等。
> 不用额外的变量实现两个数字互换。
| 12345 | def swap(num_1, num_2): num_1 ^= num_2 num_2 ^= num_1 num_1 ^= num_2 return num_1, num_2 |
证明很简单，我们只需要明白异或运算满足下面规律：
- 0^a = a;
- a^a = 0;
- a^b^c = a^c^b;
巧妙运用异或可以高效解决很多问题，比如 找出数组中只出现了一次的数（除了一个数只出现一次外，其他数都是出现两次），以及它的升级版：数组中只出现1次的两个数字(百度面试题)。
> 不用判断语句来实现求绝对值。
| 123 | def bit_abs(num): negative = num >> 31 return (num ^ negative) – negative |
这里假设程序运行环境中操作系统为32位，int型整数(不考虑整数溢出)用32位存储，因此可以用 num>>31 取出符号位，后面的部分留给大伙证明。
Leetcode 题目思路
回到文章开始提到的题目中，我们对除数减去被除数的过程稍作改进。假设求m/n，我们不一次次的 m-n，而是找到n的一个倍数，使得m-x*n尽可能小，这样能减少循环减法的次数，进而提高效率。我们知道在按位操作中，n
我们需要这样的一个数字k，它使得n 2^k 2^(k+1)， 然后用m – n*2^k，得到新的m’。再找相应的k’，做减法，如此循环即可。代码放在这里。
相关阅读
Pyhon wiki: BitwiseOperators
位操作基础篇之位操作全面总结