由用户输入系列对称的点的解决方案
需求
由用户输入一系列对称的点，对称轴未知。
需求分析
对称的点包括对称点和对称轴上的点。可以先要求用户（图形化）输入成对的对称点，程序计算出对称轴后，再由用户输入轴上的点，并将点修正到轴上。
实际上计算对称轴的过程是对对称点中垂线求平均。但是要注意的是，输入点的误差是一个恒定值，以真实点为中心，越远概率越小。因此两对称点的连线的误差跟连线长度负相关。
而对用户输入的点的修正，其实是计算点到直线的垂足坐标，是一个简单的的解析几何问题。
解决方案
第一步，通过用户输入的对称点解出对称轴
算法思路
计算出对称轴的基本思路分为两步，先通过输入的对称点的连线计算对称轴的斜率；然后计算在这个斜率下使得对称点中点距该线距离最小时的截距。
对称轴斜率的计算
斜率的计算需要先计算对称点的方向向量，再计算与该方向向量垂直的向量，即为对称轴的方向向量。求解如下：
为了计算方便，确保方向向量为正值，令x = 1
正常情况下，这时候斜率就应该是-x\'/y\'。然而本例中有多个对称点，需要用连线长度做权，对倾角求加权平均。注意，是倾角而非斜率做加权平均，所以我们要转换为倾角：
值得注意的是，当y_1\' = y_1 即 y\' = 0 时，会出现0做除数的情况。
因为 arctanx的定义域为(-∞, +∞), 值域为(-π/2, π/2)：
而倾角的有效范围是[0,π)，所以需要一次转换。
因为∠β与∠γ角度上相等，所以∠β要转换成线的倾角，即∠γ的补角，因∠β为负数，只需要对计算出的倾角为负的值加上π即可。
（之所以要将倾角归到[0,π)，是因为要求平均角度。如果直接求∠α和∠β平均角度的话，会得到0°。而我们想得到的是90°，所以必须要用∠γ的补角取平均。）
计算对称轴的斜率k：
对称轴截距的计算
因为对于恒定的斜率，点到直线的距离和点在y方向上到直线的距离是成正比的，即a = k·b
因此要计算恒定斜率下，与若干点距离(a)最短的直线。和求若干点在y方向距离(b)最短的直线是等价的。
只需要假定截距为0，计算各个点的y值与直线上相应y值之差，再求平均值即为截距。
代码
很多计算是由numpy的矩阵计算完成的，因此代码比较简单
代码中self.rawData[\'symmMark\']是用户输入的对称点的数据，数据结构为一个一维数组, x 坐标 y 坐标依次排列。
如A1(x1, y1) A\'1(x\'1, y\'1)是第一对对称点，A2(x2, y2) A\'2(x\'2, y\'2)是第二对对称点。其保存在self.rawData[\'symmMark\']中的形式为： [x1, y1, x\'1, y\'1, x2, y2, x\'2, y\'2]
| 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041 | import numpy as np # 省略其它代码… def calcAxis(self): smlen = len(self.rawData[\’symmMark\’]) if smlen < 4: return sms = self.rawData[\’symmMark\’] # 中点坐标 mxs = np.array([(sms[i] + sms[i + 2])/2.0 for i in xrange(0, smlen, 4)], dtype = \’float\’) mys = np.array([(sms[i] + sms[i + 2])/2.0 for i in xrange(1, smlen, 4)], dtype = \’float\’) # 对称点连线向量 axs = np.array([sms[i + 2] – sms[i] for i in xrange(0, smlen, 4)], dtype = \’float\’) ays = np.array([sms[i + 2] – sms[i] for i in xrange(1, smlen, 4)], dtype = \’float\’) # 对称点连线长度 ds = np.sqrt(np.square(axs) + np.square(ays)) # 计算与连线垂直向量的角度 angs = np.choose(np.not_equal(ays, 0), (np.PINF, – axs / ays)) # 注意：若 y0 = 0 则使结果为正无穷，这样在numpy.arctan中可以得到一个-2/π angs = np.arctan(angs) # 同时y值和余弦值相等 计算角度 angs = np.choose(angs < 0, (angs, angs + np.pi)) # 保证角度结果在 0 ~ π 范围内 # 用连线长度加权计算平均倾角 mainang = np.sum(angs * ds) / np.sum (ds) # 计算斜率 也就是直线方程中的a a = np.tan(mainang) # 假定截距为0 计算在Y轴方向上 中点到直线的距离 dys = mys – mxs * a # 用连线长度加权计算平均截距 b = np.sum(dys * ds) / np.sum (ds) self.axis = [a, b] pass |
第二步，将接下来用户输入的点投射到对称轴上
设输入点为C(x1, y1), 对称轴为 y = a x + b
设垂直于对称轴，通过点C的直线斜率为k 则有 k · a = -1
于是直线方程为： y - y1 = - 1/a (x - x1)
化为斜截式： y = -1/a x + x1/a + y1
与对称轴方程联立解得交点x坐标为
带入对称轴方程可得y坐标
代码
| 1234567891011 | def addAxisMark(self, x, y): if self.axis[0] == 0: resx = x else: resx = (x / self.axis[0] + y – self.axis[1]) / (self.axis[0] + 1 / self.axis[0]) resy = resx * self.axis[0] + self.axis[1] self.rawData[\’axisMark\’].append(resx) self.rawData[\’axisMark\’].append(resy) return (resx, resy) |
结果展示
标记数字相同的圆圈为鼠标点击输入一对对称点，绿色的线为计算出的对称轴，橙色的点为鼠标点击后修正到轴上之后的点。
