获取代码：接下来，为了匹配文章的内容，所有的代码都会在Github上以iPython笔记的形式提供。

本文中我们会从头实现一个简单的3层神经网络。我们不会推导所有的数学公式，但会给我们正在做的事情一个相对直观的解释。我也会给出你研读所需的资源链接。

这里假设你已经比较熟悉微积分和机器学习的概念了。比如，你知道什么是分类和正则化。当然你也应该了解一点优化技巧，如梯度下降是如何工作的。但是即使你对上面提到的任何一个概念都不熟悉，你仍然会发现本文的有趣所在。

但是为什么要从头实现一个神经网络呢？即使你打算将来使用像PyBrain这样的神经网络库，从头实现神经网络仍然是一次非常有价值的练习。它会帮助你理解神经网络的工作原理，而这是设计有效模型的必备技能。

需要注意的是这里的示例代码并不是十分高效，它们本就是用来帮助理解的。在接下来的文章中，我会探索如何使用Theano写一个高效的神经网络实现。

产生数据集

让我们从力所能及的产生数据集开始吧。幸运的是，scikit-learn提供了一些很有用的数据集产生器，所以我们不需要自己写代码了。我们将从make_moons 函数开始。

1234 # Generate a dataset and plot itnp.random.seed(0)X, y = sklearn.datasets.make_moons(200, noise=0.20)plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=40, c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

产生的数据集中有两类数据，分别以红点和蓝点表示。你可以把蓝点看作是男性病人，红点看作是女性病人，x和y轴表示药物治疗。

我们的目标是，在给定x和y轴的情况下训练机器学习分类器以预测正确的分类（男女分类）。注意，数据并不是线性可分的，我们不能直接画一条直线以区分这两类数据。这意味着线性分类器，比如Logistic回归，将不适用于这个数据集，除非手动构建在给定数据集表现很好的非线性特征（比如多项式）。

事实上，这也是神经网络的主要优势。你不用担心特征构建，神经网络的隐藏层会为你学习特征。

Logistic回归

为了证明这个观点，我们来训练一个Logistic回归分类器。它的输入是x和y轴的值，输出预测的分类（0或1）。为了简单，我们使用scikit-learn库里的Logistic回归类。

1234567 # Train the logistic rgeression classifierclf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV()clf.fit(X, y) # Plot the decision boundaryplot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x))plt.title(\”Logistic Regression\”)

上图展示了Logistic回归分类器学习到的决策边界。使用一条直线尽量将数据分离开来，但它并不能捕捉到数据的“月形”特征。

训练神经网络

让我们来建立具有一个输入层、一个隐藏层、一个输出层的三层神经网络。输入层的结点数由数据维度决定，这里是2维。类似地，输出层的结点数由类别数决定，也是2。（因为我们只有两类输出，实际中我们会避免只使用一个输出结点预测0和1，而是使用两个输出结点以使网络以后能很容易地扩展到更多类别）。网络的输入是x和y坐标，输出是概率，一个是0（女性）的概率，一个是1（男性）的概率。它看起来像下面这样：

我们可以为隐藏层选择维度（结点数）。放入隐藏层的结点越多，我们能训练的函数就越复杂。但是维度过高也是有代价的。首先，预测和学习网络的参数就需要更多的计算。参数越多就意味着我们可能会过度拟合数据。

如何选择隐藏层的规模？尽管有一些通用的指导和建议，但还是依赖于具体问题具体分析，与其说它是一门科学不如说是一门艺术。我们稍后会在隐藏层的结点数上多做一点事情，然后看看它会对输出有什么影响。

我们还需要为隐藏层挑选一个激活函数。激活函数将该层的输入转换为输出。一个非线性激活函数允许我们拟合非线性假设。常用的激活函数有tanh、the sigmoid函数或者是ReLUs。这里我们选择使用在很多场景下都能表现很好的tanh函数。这些函数的一个优点是它们的导数可以使用原函数值计算出来。例如，tanh x的导数是1-tanh^2 x。这个特性是很有用的，它使得我们只需要计算一次tanh x值，之后只需要重复使用这个值就可以得到导数值。

因为我们想要得到神经网络输出概率，所以输出层的激活函数就要是softmax。这是一种将原始分数转换为概率的方法。如果你很熟悉logistic回归，可以把softmax看作是它在多类别上的一般化。

神经网络如何预测

神经网络使用前向传播进行预测。前向传播只不过是一堆矩阵相乘并使用我们上面定义的激活函数了。假如x是该网络的2维输入，我们将按如下计算预测值（也是二维的）:

zi是输入层、ai是输出层。W1,b1,W2,b2是需要从训练数据中学习的网络参数。你可以把它们看作是神经网络各层之间数据转换矩阵。看着上文的矩阵相乘，我们可以计算出这些矩阵的维度。如果我们的隐藏层中使用500个结点，那么有

现在你明白了为什么增大隐藏层的规模会导致需要训练更多参数。

学习参数

学习该网络的参数意味着要找到使训练集上错误率最小化的参数(W1,b1,W2,b2)。但是如何定义错误率呢？我们把衡量错误率的函数叫做损失函数（loss function）。输出层为softmax时多会选择交叉熵损失（cross-entropy loss）。假如我们有N个训练例子和C个分类，那么预测值（hat{y}）相对真实标签值的损失就由下列公式给出：

这个公式看起来很复杂，但实际上它所做的事情不过是把所有训练例子求和，然后加上预测值错误的损失。所以，hat{y}（预测值）距离 hat{y}（真实标签值）越远，损失值就越大。

要记住，我们的目标是找到能最小化损失函数的参数值。我们可以使用梯度下降方法找到最小值。我会实现梯度下降的一种最普通的版本，也叫做有固定学习速率的批量梯度下降法。诸如SGD（随机梯度下降）或minibatch梯度下降通常在实践中有更好的表现。所以，如果你是认真的，这些可能才是你的选择，最好还能逐步衰减学习率。

作为输入，梯度下降需要一个与参数相关的损失函数的梯度（导数矢量）：,。为了计算这些梯度，我们使用了著名的后向传播算法。这个算法是从输出计算梯度的一种很高效的方法。在这里我不会深入讲解后向传播如何工作，但是在网络上流传有很多很优秀的讲解（参见这里或是这里）。

应用后向传播公式我们发现以下内容（这点你要相信我）：

实现

现在我们要准备开始实现网络了。我们从定义梯度下降一些有用的变量和参数开始：

1234567 num_examples = len(X) # training set sizenn_input_dim = 2 # input layer dimensionalitynn_output_dim = 2 # output layer dimensionality # Gradient descent parameters (I picked these by hand)epsilon = 0.01 # learning rate for gradient descentreg_lambda = 0.01 # regularization strength

首先要实现我们上面定义的损失函数。以此来衡量我们的模型工作得如何：

123456789101112131415 # Helper function to evaluate the total loss on the datasetdef calculate_loss(model):    W1, b1, W2, b2 = model[\’W1\’], model[\’b1\’], model[\’W2\’], model[\’b2\’]    # Forward propagation to calculate our predictions    z1 = X.dot(W1) + b1    a1 = np.tanh(z1)    z2 = a1.dot(W2) + b2    exp_scores = np.exp(z2)    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)    # Calculating the loss    corect_logprobs = –np.log(probs[range(num_examples), y])    data_loss = np.sum(corect_logprobs)    # Add regulatization term to loss (optional)    data_loss += reg_lambda/2 * (np.sum(np.square(W1))rayon-o\”>* (np.sum(np.square(W1))ref=\”https://github.com/dennybritz/nn-from-scratch\” target=\”_blank\”>获取代码：接下来，为了匹配文章的内容，所有的代码都会在Github上以iPython笔记的形式提供。

本文中我们会从头实现一个简单的3层神经网络。我们不会推导所有的数学公式，但会给我们正在做的事情一个相对直观的解释。我也会给出你研读所需的资源链接。

这里假设你已经比较熟悉微积分和机器学习的概念了。比如，你知道什么是分类和正则化。当然你也应该了解一点优化技巧，如梯度下降是如何工作的。但是即使你对上面提到的任何一个概念都不熟悉，你仍然会发现本文的有趣所在。

但是为什么要从头实现一个神经网络呢？即使你打算将来使用像PyBrain这样的神经网络库，从头实现神经网络仍然是一次非常有价值的练习。它会帮助你理解神经网络的工作原理，而这是设计有效模型的必备技能。

需要注意的是这里的示例代码并不是十分高效，它们本就是用来帮助理解的。在接下来的文章中，我会探索如何使用Theano写一个高效的神经网络实现。

产生数据集

让我们从力所能及的产生数据集开始吧。幸运的是，scikit-learn提供了一些很有用的数据集产生器，所以我们不需要自己写代码了。我们将从make_moons 函数开始。

1234 # Generate a dataset and plot itnp.random.seed(0)X, y = sklearn.datasets.make_moons(200, noise=0.20)plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=40, c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

产生的数据集中有两类数据，分别以红点和蓝点表示。你可以把蓝点看作是男性病人，红点看作是女性病人，x和y轴表示药物治疗。

我们的目标是，在给定x和y轴的情况下训练机器学习分类器以预测正确的分类（男女分类）。注意，数据并不是线性可分的，我们不能直接画一条直线以区分这两类数据。这意味着线性分类器，比如Logistic回归，将不适用于这个数据集，除非手动构建在给定数据集表现很好的非线性特征（比如多项式）。

事实上，这也是神经网络的主要优势。你不用担心特征构建，神经网络的隐藏层会为你学习特征。

Logistic回归

为了证明这个观点，我们来训练一个Logistic回归分类器。它的输入是x和y轴的值，输出预测的分类（0或1）。为了简单，我们使用scikit-learn库里的Logistic回归类。

1234567 # Train the logistic rgeression classifierclf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV()clf.fit(X, y) # Plot the decision boundaryplot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x))plt.title(\”Logistic Regression\”)

上图展示了Logistic回归分类器学习到的决策边界。使用一条直线尽量将数据分离开来，但它并不能捕捉到数据的“月形”特征。

训练神经网络

让我们来建立具有一个输入层、一个隐藏层、一个输出层的三层神经网络。输入层的结点数由数据维度决定，这里是2维。类似地，输出层的结点数由类别数决定，也是2。（因为我们只有两类输出，实际中我们会避免只使用一个输出结点预测0和1，而是使用两个输出结点以使网络以后能很容易地扩展到更多类别）。网络的输入是x和y坐标，输出是概率，一个是0（女性）的概率，一个是1（男性）的概率。它看起来像下面这样：

我们可以为隐藏层选择维度（结点数）。放入隐藏层的结点越多，我们能训练的函数就越复杂。但是维度过高也是有代价的。首先，预测和学习网络的参数就需要更多的计算。参数越多就意味着我们可能会过度拟合数据。

如何选择隐藏层的规模？尽管有一些通用的指导和建议，但还是依赖于具体问题具体分析，与其说它是一门科学不如说是一门艺术。我们稍后会在隐藏层的结点数上多做一点事情，然后看看它会对输出有什么影响。

我们还需要为隐藏层挑选一个激活函数。激活函数将该层的输入转换为输出。一个非线性激活函数允许我们拟合非线性假设。常用的激活函数有tanh、the sigmoid函数或者是ReLUs。这里我们选择使用在很多场景下都能表现很好的tanh函数。这些函数的一个优点是它们的导数可以使用原函数值计算出来。例如，tanh x的导数是1-tanh^2 x。这个特性是很有用的，它使得我们只需要计算一次tanh x值，之后只需要重复使用这个值就可以得到导数值。

因为我们想要得到神经网络输出概率，所以输出层的激活函数就要是softmax。这是一种将原始分数转换为概率的方法。如果你很熟悉logistic回归，可以把softmax看作是它在多类别上的一般化。

神经网络如何预测

神经网络使用前向传播进行预测。前向传播只不过是一堆矩阵相乘并使用我们上面定义的激活函数了。假如x是该网络的2维输入，我们将按如下计算预测值（也是二维的）:

zi是输入层、ai是输出层。W1,b1,W2,b2是需要从训练数据中学习的网络参数。你可以把它们看作是神经网络各层之间数据转换矩阵。看着上文的矩阵相乘，我们可以计算出这些矩阵的维度。如果我们的隐藏层中使用500个结点，那么有

现在你明白了为什么增大隐藏层的规模会导致需要训练更多参数。

学习参数

学习该网络的参数意味着要找到使训练集上错误率最小化的参数(W1,b1,W2,b2)。但是如何定义错误率呢？我们把衡量错误率的函数叫做损失函数（loss function）。输出层为softmax时多会选择交叉熵损失（cross-entropy loss）。假如我们有N个训练例子和C个分类，那么预测值（hat{y}）相对真实标签值的损失就由下列公式给出：

这个公式看起来很复杂，但实际上它所做的事情不过是把所有训练例子求和，然后加上预测值错误的损失。所以，hat{y}（预测值）距离 hat{y}（真实标签值）越远，损失值就越大。

要记住，我们的目标是找到能最小化损失函数的参数值。我们可以使用梯度下降方法找到最小值。我会实现梯度下降的一种最普通的版本，也叫做有固定学习速率的批量梯度下降法。诸如SGD（随机梯度下降）或minibatch梯度下降通常在实践中有更好的表现。所以，如果你是认真的，这些可能才是你的选择，最好还能逐步衰减学习率。

作为输入，梯度下降需要一个与参数相关的损失函数的梯度（导数矢量）：,。为了计算这些梯度，我们使用了著名的后向传播算法。这个算法是从输出计算梯度的一种很高效的方法。在这里我不会深入讲解后向传播如何工作，但是在网络上流传有很多很优秀的讲解（参见这里或是这里）。

应用后向传播公式我们发现以下内容（这点你要相信我）：

实现

现在我们要准备开始实现网络了。我们从定义梯度下降一些有用的变量和参数开始：

1234567 num_examples = len(X) # training set sizenn_input_dim = 2 # input layer dimensionalitynn_output_dim = 2 # output layer dimensionality # Gradient descent parameters (I picked these by hand)epsilon = 0.01 # learning rate for gradient descentreg_lambda = 0.01 # regularization strength

首先要实现我们上面定义的损失函数。以此来衡量我们的模型工作得如何：

123456789101112131415 # Helper function to evaluate the total loss on the datasetdef calculate_loss(model):    W1, b1, W2, b2 = model[\’W1\’], model[\’b1\’], model[\’W2\’], model[\’b2\’]    # Forward propagation to calculate our predictions    z1 = X.dot(W1) + b1    a1 = np.tanh(z1)    z2